Что такое ломаная и звенья вершин объяснение и примеры 8 класс

Ломаная – это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, соединяющих последовательные точки на плоскости. Отрезки называются звеньями ломаной, а точки, которые соединяются, – вершинами. Ломаная может быть замкнутой и незамкнутой. При этом, если вершина начального и конечного звена совпадают, то ломаная считается замкнутой, в противном случае – незамкнутой.

Звенья ломаной могут иметь разную длину, направление и величину угла между смежными звеньями. Также ломаная может иметь различную форму – выпуклую, вогнутую или прямую. Интересно отметить, что основные параметры ломаной – длина звеньев и углы между ними – играют важную роль в определении ее свойств и характеристик.

Ломаные широко применяются в геометрии, графике и картографии. В геометрии они используются в качестве базовой фигуры для построения других геометрических объектов, например, полигонов или многоугольников. В графике ломаные часто используются для отображения зависимости величин или изменения параметров с течением времени. В картографии они служат для построения линий разных типов – дорог, границ, рек и других объектов на картах.

Содержание

Ломаная и звенья вершин: объяснение и примеры (8 класс)

Чтобы нарисовать ломаную, нужно иметь список координат вершин. Координаты задаются парами чисел (x, y). Начало ломаной обозначается вершиной 1, которая также имеет координаты (x₁, y₁). Затем проводится отрезок от вершины 1 до вершины 2 с координатами (x₂, y₂). Далее проводится отрезок от вершины 2 до вершины 3 и так далее, пока все вершины не будут соединены отрезками и образуют ломаную.

Примером ломаной может быть путь, по которому двигается карандаш на бумаге или траектория движения автомобиля.

Давайте рассмотрим пример ломаной, образованной четырьмя звеньями:

Вершина 1: координаты (3, 5)
Вершина 2: координаты (6, 3)
Вершина 3: координаты (2, 1)
Вершина 4: координаты (7, 2)

Теперь нарисуем эту ломаную на координатной плоскости:

Проведем отрезок от (3, 5) до (6, 3)
Проведем отрезок от (6, 3) до (2, 1)
Проведем отрезок от (2, 1) до (7, 2)

В результате получим следующую ломаную:

(3, 5)---(6, 3)
|        |
(2, 1)---(7, 2)

Таким образом, ломаная и звенья вершин позволяют наглядно представить геометрические фигуры и траектории на плоскости.

Что такое ломаная и звенья вершин?

Вида ломаных бывает много: замкнутые и открытые, прямые и изогнутые, выпуклые и невыпуклые. Вершина ломаной — это точка пересечения двух звеньев или начальная/конечная точка, если ломаная открытая.

Пример ломаной можно представить в виде списка точек с координатами. Например:

Точка А (2, 4)
Точка В (5, 7)
Точка С (8, 6)
Точка D (10, 9)

В данном примере ломаная проходит через точки А, В, С и D, соединяя их отрезками.

Ломаные могут использоваться в разных областях, например, в геометрии, графике, компьютерной графике и дизайне. Они позволяют визуализировать сложные формы и пути, а также находить решения различных задач, таких как построение трассы движения, графическое представление данных и других.

Использование ломаных и звеньев вершин позволяет создавать более сложные и разнообразные графические изображения и конструкции, открывая новые возможности для творческого процесса и математического моделирования.

Определение и особенности ломаной

Вершины — это точки на плоскости, в которых прямые звенья сходятся или расходятся. Они обозначаются буквами латинского алфавита.

Звенья — это участки прямых, соединяющих вершины ломаной. Они обозначаются отрезками прямых линий и нумеруются от первого до последнего. Каждое звено имеет свою длину и может быть внешним или внутренним.

Особенностью ломаной является тот факт, что она может иметь произвольную форму и направление. Её вершины и звенья могут располагаться в любом порядке и в разных направлениях. Ломаная может быть замкнутой или незамкнутой, а также может пересекать саму себя.

Для математического описания ломаной используются алгоритмы и формулы, позволяющие определить её параметры, такие как длина каждого звена, углы между звеньями и т. д. Ломаные используются в различных областях, например, при построении графиков, в компьютерной графике, в архитектуре и дизайне.

Понятие звеньев вершин

Каждое звено состоит из двух вершин, которые связаны линией. Вершины ломаной разбивают плоскость на отрезки. Если ломаная имеет N вершин, то она будет содержать N-1 звеньев.

Звенья вершин пронумерованы в порядке их следования в ломаной. Если ломаная имеет вершины A, B, C, то первым звеном будет AB, вторым — BC, и так далее.

Пример:

Вершины: A, B, C, D
Звенья вершин: AB, BC, CD

Объяснение и примеры ломаных и звеньев вершин

Пример ломаной может быть следующим: представим себе стол с несколькими отмеченными на нем точками. Для создания ломаной соединим эти точки отрезками. Каждый отрезок является звеном вершины. Таким образом, мы получим ломаную, где вершины – это отмеченные точки, а звенья – отрезки, соединяющие эти точки.

Другой пример ломаной – график, представляющий зависимость двух величин. На графике величины располагаются по координатным осям, и точки соединяются звеньями вершин. Таким образом, мы можем наглядно видеть, как одна величина изменяется относительно другой.

Как строить ломаные и определять их свойства

Для построения ломаной следует использовать следующий алгоритм:

Задайте последовательность вершин ломаной. Это может быть набор точек на плоскости, которые нужно соединить отрезками.
Соедините вершины отрезками последовательно. Начните с первой вершины и проведите отрезок к следующей, затем к следующей и так далее.
Продолжайте проводить отрезки до последней вершины.

После построения ломаной можно определить ее свойства:

Длина ломаной – сумма длин всех отрезков, из которых она состоит.
Угол между отрезками – это угол, образованный двумя последовательными отрезками ломаной.
Количество звеньев вершин – это количество отрезков, из которых состоит ломаная.

Ломаная может иметь различные формы и свойства в зависимости от положения ее вершин и отрезков. Например, если вершины ломаной расположены близко друг к другу, она будет более «кривой». Если же вершины расположены далеко друг от друга, ломаная будет более «ровной».

Пример:

Построим ломаную, соединяющую вершины A, B, C, D и E.
Продолжим проводить отрезки последовательно: AB, BC, CD и DE.
Получим ломаную ABCDE.

Свойства ломаной ABCDE:

Длина ломаной ABCDE — сумма длин отрезков AB, BC, CD и DE.
Угол между отрезками AB и BC, BC и CD, CD и DE.
Количество звеньев вершин — четыре.

Примеры ломаных и звеньев вершин на координатной плоскости

Ниже приведены несколько примеров ломаных и звеньев вершин на координатной плоскости:

Пример 1:

Пусть даны следующие координаты вершин:
- (0, 0)
- (1, 2)
- (3, 1)
- (4, 4)
Тогда ломаная будет выглядеть следующим образом:
Пример 2:

Пусть даны следующие координаты вершин:
- (-2, 1)
- (0, 3)
- (2, -1)
- (4, 2)
Тогда ломаная будет выглядеть следующим образом:
Пример 3:

Пусть даны следующие координаты вершин:
- (1, 1)
- (2, 3)
- (3, 2)
- (4, 4)
Тогда ломаная будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, ломаные и звенья вершин на координатной плоскости могут быть представлены различными комбинациями координат, что дает возможность создавать разнообразные геометрические фигуры.

Задания на ломаные и звенья вершин для 8 класса

В этом разделе представлены задания на ломаные и звенья вершин, которые помогут учащимся 8 класса разобраться с этой темой и получить практические навыки.

Постройте ломаную на координатной плоскости, проходящую через точки A(2, 4), B(5, 2) и C(7, 6). Определите угол между отрезками AB и BC.
Дана ломаная ABCDEFGH. Найдите длину каждого отрезка AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, а также сумму длин всех отрезков.
Рассмотрим треугольник ABC и отрезки AD, CE и BF, которые пересекаются в точке P. Известно, что AP = 3 см, PD = 2 см, CP = 4 см, PE = 5 см, BP = 6 см, PF = 7 см. Найдите длину отрезка CF.

Постройте ломаную на координатной плоскости, проходящую через точки A(1, 3), B(4, 2), C(6, 5) и D(2, 7). Определите, образуют ли отрезки AB, BC и CD замкнутый контур.
Дана ломаная ABCDEFGH. Найдите сумму длин всех отрезков, начинающихся и заканчивающихся на четных координатах.
Рассмотрим треугольник ABC и отрезки AD, CE и BF, которые пересекаются в точке P. Известно, что AP = 4 см, PD = 3 см, CP = 6 см, PE = 8 см, BP = 7 см, PF = 9 см. Найдите длину отрезка AF.

Эти задания помогут учащимся закрепить материал о ломаных и звеньях вершин, а также применить полученные знания на практике. Решение задач поможет развить логическое мышление, умение работать с координатами и расчеты длин отрезков.

Вопрос-ответ:

Что такое ломаная?

Ломаная — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, соединяющих последовательные точки на плоскости. Она может иметь различную форму и направление и может быть открытой или замкнутой.

Что такое звенья вершин?

Звенья вершин — это точки, через которые проходит ломаная. Звеньями являются концы отрезков, соединяющих эти точки.

Как построить ломаную?

Для построения ломаной нужно последовательно соединить отрезками все точки, которые должны быть звеньями вершин. Начальную точку покажите точкой с номером 1. Отрезок, соединяющий 1-ю и вторую точки, назовите 1-м звеном вершины, вторую точку – началом 2-го звена и т.д.

В чем отличие открытой и замкнутой ломаных?

Открытая ломаная не образует замкнутой фигуры, ее звеньями являются только начальная и конечная точки. Замкнутая ломаная образует фигуру, она зациклена и последнюю точку соединяет с начальной. Ее звеньями являются все вершины ломаной.

Приведите примеры ломаных и объясните их форму и направление.

Примерами ломаных могут быть, например, треугольник, квадрат, пятиугольник и т.д. Форма ломаной определяется их звеньями вершин и порядком их соединения. Направление ломаных может быть произвольным — они могут быть направлены вверх, вниз, вправо, влево или под углом.