Определение и примеры свойств трапеции

Трапеция — это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Одна параллельная сторона называется основанием трапеции, и она обычно длиннее другой стороны, называемой вершиной. Две оставшиеся стороны называются боковыми сторонами.

Одно из наиболее замечательных свойств трапеции заключается в том, что сумма длин оснований трапеции равна сумме длин боковых сторон. Это называется свойством боковой.

Трапеция может быть равнобедренной или произвольной. Равнобедренная трапеция имеет две равные боковые стороны и две равные основания. Произвольная трапеция, наоборот, имеет разные длины всех четырех сторон.

Примеры трапеции встречаются во многих сферах жизни. Например, перекресток дорог может иметь форму трапеции, а кровать или стол могут иметь подобную форму. Трапеции также часто используются в геометрических задачах и расчетах.

Определение

Примеры трапеций:

— трапеция с параллельными основаниями

— трапеция со смещенным основанием

Трапеция как геометрическая фигура

Зная длины двух оснований и высоту трапеции, можно вычислить площадь этой фигуры. Формула для вычисления площади трапеции выглядит следующим образом:

где a и b — длины оснований трапеции, а h — высота трапеции.

Примеры трапеций в реальной жизни включают в себя крыши домов, бублики, клюшки для гольфа и другие предметы. Кроме того, трапеции широко используются в геометрии для решения различных задач и конструкций.

Трапеция как фигура в математике

Одно из основных свойств трапеции — наличие двух параллельных сторон. Это означает, что две стороны трапеции всегда параллельны друг другу, а две другие стороны могут быть непараллельными. Также можно заметить, что у трапеции есть два угла, расположенные на противоположных сторонах относительно параллельных сторон.

Можно установить еще несколько свойств трапеции:

• Сумма углов трапеции всегда равна 360 градусов.
• Точка пересечения диагоналей трапеции делит их на две равные части.
• Высота трапеции — это расстояние между параллельными сторонами. Она перпендикулярна основанию трапеции и равна расстоянию между ними.

Примеры трапеций наглядно демонстрируют эти свойства:

• Вертикальная трапеция, где все стороны перпендикулярны:



• Равнобедренная трапеция с параллельными основаниями и равными боковыми сторонами:

Свойства

1. Основания трапеции параллельны друг другу.

2. Боковые стороны трапеции не параллельны и отличаются по длине.

3. Углы при основаниях трапеции называются основными углами, а углы при боковых сторонах — боковыми углами.

4. Диагональ трапеции — отрезок, соединяющий вершины, не принадлежащие одной стороне. В трапеции диагонали пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ на две равные части.

Примеры трапеций:

Трапеция	Основания	Боковые стороны
	AB = 6, CD = 8	BC = 5, AD = 7
	PQ = 12, RS = 10	QR = 8, PS = 6

Углы в трапеции

1. Противоположные углы трапеции сумма равна 180 градусам. Это значит, что если один угол трапеции равен 60 градусам, то противоположный угол будет равным 120 градусам.

2. Углы на одной основе трапеции дополнительны друг другу. Если один угол на основе трапеции равен 70 градусам, то другой угол на этой же основе будет равен 110 градусам.

3. Углы на основах трапеции равны между собой. Это значит, что если один угол на одной основе трапеции равен 75 градусам, то соответствующий угол на другой основе трапеции также будет равен 75 градусам.

4. Если в трапеции один из углов является прямым (равен 90 градусам), то другой противоположный угол также будет прямым углом.

Теперь давайте рассмотрим некоторые примеры трапеций и их углов:

Пример 1:

В этой трапеции сумма противоположных углов равна 180 градусам. Угол A равен 60 градусам, поэтому угол B будет равен 120 градусам. Углы на одной основе (AB) также равны — оба равны 70 градусам.

Пример 2:

В этой трапеции противоположные углы B и D дополняют друг друга и их сумма равна 180 градусам. Угол A равен 80 градусам, а угол C будет равен 100 градусам. Углы на основах (AC и BD) также равны — оба равны 90 градусам.

Таким образом, углы в трапеции обладают определенными свойствами, которые помогают нам анализировать их форму и свойства.

Основания и боковые стороны

Боковые стороны трапеции — это стороны, соединяющие основания между собой. Боковые стороны трапеции часто обозначаются буквами c и d. Еще одна часто используемая нотация для обозначения боковых сторон — это буквы e и f.

Для трапеции с основаниями a и b, боковыми сторонами c и d, и высотой h, верны следующие свойства:

• Основания трапеции параллельны и равны по длине: a = b;
• Боковые стороны трапеции неравны: c ≠ d;
• Каждая из боковых сторон трапеции параллельна основаниям;
• Боковые стороны c и d называются боковыми сторонами, а стороны a и b — основаниями трапеции;
• Высота h — это перпендикуляр, опущенный из одного основания трапеции на другое;
• Высота h не является боковой стороной. Она пересекает трапецию, соединяя основания.

Примеры

Пример 1:

Рассмотрим трапецию ABCD, где AB = 5 см, CD = 9 см, AD = BC = 7 см. Построим высоту CE, которая будет перпендикулярна основаниям AB и CD.

Из свойств трапеции, мы можем заключить, что высота CE делит трапецию на два прямоугольных треугольника AEC и CDE.

Используя теорему Пифагора, найдем длину отрезка DE:

DE = √(DC² — EC²) = √(9² — 5²) = √(81 — 25) = √56 ≈ 7.48 см.

Пример 2:

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AB = 6 см, BC = 10 см, AD = 8 см. Построим высоту EF, которая будет перпендикулярна основаниям AB и CD.

Так как ABCD — прямоугольная трапеция, то угол FBC прямой угол и BC — высота.

Для нахождения длины отрезка EF, воспользуемся теоремой Пифагора. Так как ABCD — прямоугольная трапеция, то AE и CD — параллельны и EF — высота, получаем:

EF = √(AD² — BC²) = √(8² — 6²) = √(64 — 36) = √28 ≈ 5.29 см.

Пример 3:

Рассмотрим равнобедренную трапецию PQRS, где PQ = RS = 4 см, QR = 6 см, PS = 8 см.

Так как PQRS — равнобедренная трапеция, то FE — высота и отрезок EF — медиана трапеции.

Для нахождения длины отрезка EF, воспользуемся формулой для медианы равнобедренной трапеции:

EF = (PQ + RS)/2 = (4 + 4)/2 = 4 см.

Примеры трапеций в природе

Один из таких примеров — горный пейзаж. Когда мы смотрим на горы издалека или сверху, их профиль часто имеет форму трапеции. Вершина горы является пунктом пересечения двух боковых сторон, которые определяют форму трапеции.

Еще один пример трапеции — крылья у некоторых насекомых, таких как пчелы и стрекозы. Форма их крыльев часто приближается к трапеции. Боковые стороны представляют собой наружные края крыльев, а параллельные стороны — передняя и задняя границы.

Трапеции можно также наблюдать в некоторых геологических образованиях, например, в виде граней гор и ущелий. Ущелье или горная вершина образует вершину трапеции, а наклонные стороны представляют собой склоны.

Это лишь некоторые примеры трапеций, которые можно найти в природе. Фигура трапеции встречается в различных объектах и явлениях, и понимание ее свойств помогает нам лучше понять окружающий мир.

Вопрос-ответ:

Что такое трапеция?

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, но не равны друг другу.

Какие свойства имеет трапеция?

Основные свойства трапеции: одна пара противоположных сторон параллельна, углы у оснований трапеции совпадают и дополняются до 180 градусов.

Как найти площадь трапеции?

Площадь трапеции можно найти, используя формулу S = ((a + b) * h) / 2, где a и b — длины оснований, а h — высота трапеции.

Можете привести примеры трапеций в повседневной жизни?

Да, конечно! Примерами трапеций могут служить кровати, картины, газетные статьи, архитектурные планы зданий и многое другое, где есть параллельные стороны.

Как найти длину боковой стороны трапеции, если известны длины оснований и диагональ?

Длина боковой стороны трапеции может быть найдена с помощью теоремы Пифагора. Нужно вычислить корень из (квадрат диагонали — квадрат полусуммы оснований).

Видео:

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020